Chứng Minh Tính Chia Hêt Của Một Nhóm Số Tự Nhiên

tinh-chat-chia-het

Bài 1

Trong 3 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 3 số đó) mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2.

Giải : Áp dụng quy tắc chẵn –lẻ

Xét các trường hợp:

· a, b, c cùng chẵn --> đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có

tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2

· a, b, c cùng lẻ --> đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có

tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2

· a, b, c có 1 cặp là số lẻ --> Hiệu và tổng của 2 số lẻ chia hết cho 2

· a, b, c có 1 cặp là số chẵn --> Hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2

Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài

Hai trường hợp cuối có 1 cặp số thỏa mãn đầu bài

---> Vậy có ít nhât 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 (ĐPCM)

>> gia sư tại nhà

Bài 2

Trong 4 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c, d ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 4 số đó) mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Giải : Áp dụng qui tắc số dư

Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0, 1, 2, 3, 4,

Xét các trường hợp:

· cả 4 số có số dư khác nhau (0,1,2,3);(0,2,3,4);(0,1 4,2); (0,4,2,3);(1,2,3,4)

bao giờ cũng có ít nhất 1 cặp số có số dư là (1+4) hoặc (2+3)

--> Tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5

Với nhóm số có số dư (1,2,3,4) --> 2 cặp có tổng chia hết cho 5

· cả 4 số có số dư trùng nhau --> 6 cặp từng đôi một có hiệu = 0

--> chia hết cho 5

· 2 cặp có số dư trùng nhau --> Hiệu của 2 cặp đó = 0 --> chia hết cho 5

· 1 cặp có số dư trùng nhau --> Hiệu của 1 cặp đó = 0 --> chia hết cho 5

Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Bài 3

Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ tùy chọn, bao giờ cũng có 4 số mà tổng của chúng chia hết cho 4

Giải:

Đặt 7 số TN đó là A, B, C, D, E, F, G. Lấy kết quả của bài 1: Trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn có 2 số là số chẵn ( chia hết cho 2)

A, B, C Và D, E, F mỗi nhóm có 1 cặp chia hết cho 2

* Giả thử (A+B) =2 m và (D+E)=2n --> (A+B) + (C+D)= 2(m+n)

Còn 3 số C F G sẽ có 1 cặp chia hết cho 2

( C + F) = 2 p Với m,n,p cúng là số tự nhiên

Trong 3 số m, n, p luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2.

*Giả thử (m + n) =2 q ( q là số TN) thì ta có

(A+B) + (C+D)= 2(m+n) = 4q ==> A+B+C+D chia hết cho 4 (ĐPCM)

Tương tự nếu chon các nhóm số khác ta cũng được 4 số trong 7 số bât kỳ trên chia hết cho 4

Chú ý:

- Với bài toán chứng minh ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra như bài 1 và bài 2; Với bài 3, tài liệu này chỉ nêu 1 trường hợp, còn các trường hợp khác nêu “CM tương tự”